Contoh Soal Turunan Implisit Beserta Jawabannya

Saat ini, banyak siswa menghadapi tantangan dalam mempelajari turunan implisit dalam pelajaran matematika. Namun, jangan khawatir! Kami telah menyusun beberapa contoh soal beserta jawabannya yang akan membantu Anda memahami konsep ini dengan lebih baik. Mari kita mulai!

Soal 1

Tentukan turunan implisit dari persamaan berikut: x² + y² = 25

Jawaban:

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan aturan rantai. Pertama, kita turunkan kedua sisi persamaan terhadap x.

Ketika kita turunkan kedua sisi persamaan terhadap x, kita akan mendapatkan:

2x + 2y * dy/dx = 0

Langkah selanjutnya adalah memisahkan variabel-variabel. Kita ingin mendapatkan dy/dx, jadi kita harus memindahkan 2x ke sebelah kanan dan membagi dengan 2y.

Setelah dilakukan perubahan tersebut, persamaan menjadi:

dy/dx = -2x / 2y

dy/dx = -x / y

Soal 2

Tentukan turunan implisit dari persamaan berikut: 3x² + 2y³ = 10

Jawaban:

Untuk soal ini, kita perlu turunkan persamaan terhadap x dan y secara bersamaan.

Ketika kita turunkan kedua sisi persamaan terhadap x, kita akan mendapatkan:

6x + 2y * dy/dx = 0

Selanjutnya, kita turunkan kedua sisi persamaan terhadap y:

6x * dx/dy + 6y² = 0

Setelah menggunakan aturan rantai, kita dapat menyederhanakan persamaan ini menjadi:

dy/dx = -6x / 2y

dy/dx = -3x / y

Soal 3

Tentukan turunan implisit dari persamaan berikut: x + 2y + xy² = 5

Jawaban:

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu turunkan persamaan terhadap x dan y secara bersamaan.

Ketika kita turunkan kedua sisi persamaan terhadap x, kita akan mendapatkan:

1 + 2 * dy/dx + y² + 2xy * dy/dx = 0

Selanjutnya, kita turunkan kedua sisi persamaan terhadap y:

2x * dy/dx + 2y + 2xy * dy/dx = 0

Dengan menggunakan aturan rantai, kita bisa menggabungkan persamaan terakhir dengan persamaan sebelumnya dan menyederhanakannya menjadi:

dy/dx = -(1 + y²) / (2 + 2xy)

Semoga contoh soal turunan implisit beserta jawabannya di atas dapat membantu Anda dalam mempelajari konsep ini dengan lebih baik. Ingatlah untuk selalu berlatih dan bertanya pada guru/teman jika masih ada kesulitan dalam memahami materi ini. Selamat belajar!

Apa itu Turunan Implisit

Turunan implisit adalah salah satu konsep dalam kalkulus yang digunakan untuk menghitung turunan suatu fungsi yang dinyatakan secara implisit dalam bentuk persamaan. Jika suatu fungsi tidak dapat diekspresikan secara eksplisit dalam bentuk y = f(x), maka kita dapat menggunakan turunan implisit untuk menghitung turunan fungsi tersebut.

Cara Menghitung Turunan Implisit

Untuk menghitung turunan implisit, kita perlu menggunakan aturan turunan rantai dan aturan turunan implisit. Berikut adalah langkah-langkah untuk menghitung turunan implisit:

1. Identifikasi variabel dependen dan independen dalam persamaan. Jika persamaan dinyatakan dalam bentuk F(x, y) = 0, maka y adalah variabel dependen, sedangkan x adalah variabel independen.
2. Diferensiasikan persamaan terhadap x menggunakan aturan turunan implisit. Misalnya, jika persamaan dinyatakan sebagai F(x, y) = 0, maka kita dapat menghitung turunan parsial terhadap x dari kedua sisi persamaan.
3. Gunakan aturan rantai untuk menghitung turunan dari variabel dependen terhadap variabel independen. Misalnya, jika kita ingin menghitung dy/dx, kita perlu mengalikan turunan parsial terhadap x dengan dx/dy.
4. Simplifikasikan persamaan turunan hingga mendapatkan ekspresi yang lebih sederhana.

Berikut adalah contoh soal turunan implisit:

Diberikan persamaan implisit x^2 + xy + y^2 = 5. Hitunglah turunan pertama (dy/dx) dari persamaan tersebut.

Jawaban:

Pertama, kita diferensiasikan persamaan terhadap x:

2x + y + 2yy’ = 0

Kemudian, kita isolasi y’ dengan memindahkan suku-suku yang mengandung y’ ke satu sisi:

2yy’ = -2x – y

Selanjutnya, kita bagikan kedua sisi persamaan dengan 2y:

y’ = (-2x – y) / (2y)

Terakhir, kita simplifikasikan persamaan:

y’ = -(x + y) / y

FAQ (Frequently Asked Questions)

1. Apa bedanya turunan implisit dengan turunan eksplisit?

Turunan implisit digunakan ketika suatu fungsi tidak dapat diekspresikan secara eksplisit dalam bentuk y = f(x), sedangkan turunan eksplisit digunakan ketika suatu fungsi dapat diekspresikan secara eksplisit dalam bentuk y = f(x).

2. Apa kegunaan dari turunan implisit dalam matematika?

Turunan implisit sangat berguna dalam menghitung turunan fungsi yang tidak dapat diekspresikan secara eksplisit. Hal ini banyak digunakan dalam berbagai bidang ilmu, seperti fisika, ekonomi, dan teknik, yang membutuhkan perhitungan turunan fungsi kompleks.

3. Bagaimana cara menyelesaikan soal turunan implisit yang lebih kompleks?

Untuk menyelesaikan soal turunan implisit yang lebih kompleks, kita perlu melibatkan lebih banyak langkah dalam perhitungan. Langkah pertama adalah mengidentifikasi variabel dependen dan independen dalam persamaan, kemudian diferensiasikan persamaan terhadap variabel independen menggunakan aturan turunan implisit. Setelah itu, gunakan aturan rantai dan simplifikasikan persamaan hingga mendapatkan turunan yang diinginkan.

Kesimpulan

Turunan implisit adalah metode yang digunakan dalam kalkulus untuk menghitung turunan suatu fungsi yang dinyatakan secara implisit dalam bentuk persamaan. Langkah-langkah untuk menghitung turunan implisit meliputi identifikasi variabel dependen dan independen, diferensiasi persamaan terhadap variabel independen, penggunaan aturan rantai, dan simplifikasi persamaan. Turunan implisit sangat berguna dalam menghitung turunan fungsi yang tidak dapat diekspresikan secara eksplisit. Dengan memahami konsep turunan implisit, kita dapat mengaplikasikannya dalam berbagai bidang ilmu dan meningkatkan pemahaman kita tentang kalkulus.

Jadi, jangan takut untuk menjelajahi turunan implisit dan menerapkannya dalam perhitungan matematika yang kompleks. Dengan memahami konsep ini, Anda akan dapat mengatasi tantangan perhitungan yang lebih tinggi dan mengembangkan kemampuan kalkulus Anda. Selamat belajar dan semoga sukses!